Inzwischen hat sich herausgestellt, dass doch die Fernbedienung nicht in Ordnung war:
Die interne Zuleitung zur Antenne hatte keinen richtigen Kontakt. Es gibt einen vergoldeten Draht von der Platine zum Antennenfuß, der dort nicht verlötet, sondern nur eingeclipst ist. Nach einem Säubern und nachbiegen dieses Drahtes, hat die Leitung wieder einwandfreien Kontakt.
Es ist kein Problem mehr die Funkverbindung zum Auto herzustellen, trotz 3 Stahlbetonwänden, die sich dazwischen befinden und mit einer nicht ausgezogenen Antenne.
Ein Problem war die Schrauben der Fernbedienung aufzubekommen. Dazu hab ich mit dem Dremel einen Schlitz in den Schraubenkopf geschliffen und die Schrauben durch normale Kreuzschlitzschrauben ersetzt.